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联合分布列

定义 1. 若二维随机向量(X,Y)只取有限个或可列个数对(x_i,y_j),则称(X,Y) 二维离散随机向量

对于二维离散随机向量(X,Y),其 联合概率质量函数 ,也称为 联合概率函数 ,定义为事件\{X=x_i\}\{Y=y_j\}同时发生的概率:

p_{ij}=p(x_i,y_j)=\operatorname{P}(X=x_i,Y=y_j)=\operatorname{P}\Big(\{X=x_i\}\cap\{Y=y_j\}\Big),\quad i,j\in\{1,2,\cdots\}

联合概率函数常写作列表的形式,这一形式也称为(X,Y) 联合分布列


\begin{array}{c|ccccc}
    \hline
    \quad X\overset{\LARGE\setminus}{\phantom{.}}\overset{\Large Y}{\phantom{l}} \quad &\quad y_1\quad&\quad y_2\quad&\quad \cdots\quad&\quad y_j\quad&\quad \cdots\quad\\
    \hline
    \\
    x_1 & p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1j} & \cdots \\
    x_2 & p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2j} & \cdots \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots\\
    x_i & p_{i1} & p_{i2} & \cdots & p_{ij} & \cdots \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots\\
    \\
    \hline
\end{array}

说明 .分布列,二维离散随机向量的联合分布列也需满足非负性(p_{ij}\ge 0)和正则性(\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1)。 blanksquare
根据上一节的儿童生长发育情况表,可在样本空间S=\{\text{旺旺},\text{明杰},\text{伟强},\text{英子},\text{思敏},\text{小芳}\}上定义二维离散随机向量(X,Y),其中X表示身高(cm),Y表示体重(kg)。图 1 展示了该随机向量的联合分布列,图 2 展示了该联合分布列的图像,其中水平面上的网格交点对应(X,Y)的取值,垂直线段的高度反映了取值的概率。

\begin{array}{c|ccc}
    \hline
    \quad X\overset{\LARGE\setminus}{\phantom{.}}\overset{\Large Y}{\phantom{l}} \quad &\quad 18\quad&\quad 20\quad&\quad 22\quad\\
    \hline
    \\
    108 & \displaystyle\frac{1}{6} & 0 & \displaystyle\frac{1}{6} \\
    112 & \displaystyle\frac{1}{6} & \displaystyle\frac{1}{3} & 0 \\
    115 & 0 & 0 & \displaystyle\frac{1}{6} \\
    \\
    \hline
\end{array}

图 1(X,Y)的联合分布列

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图 2联合分布列的图像

下面通过举例说明联合分布列(图 1 )中概率的计算方法。根据生长发育表,在小区6名儿童中,身高为108cm且体重为18kg的只有"伟强"一人,因此:

\text{“身高}\ 108\text{cm 且体重}\ 18\text{kg 的概率”}=\operatorname{P}(X=108, Y=18)=\frac{1}{6}

而身高为112cm且体重为20kg的有“旺旺”和“英子”两人,因此:

\text{“身高}\ 112\text{cm 且体重}\ 20\text{kg 的概率”}=\operatorname{P}(X=112, Y=20)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

从某大学食堂的就餐数据中,我们整理出了三位学生的早餐时间,如下表所示:


\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad \quad &\quad \text{小明}\quad&\quad \text{小强}\quad&\quad \text{小红}\quad\\
    \hline
    \\
    \text{周一} & 6\ \text{点} & 7\ \text{点} & 6\ \text{点} \\
    \text{周二} & 7\ \text{点} & 8\ \text{点} & 7\ \text{点} \\
    \text{周三} & 8\ \text{点} & 6\ \text{点} & 8\ \text{点} \\
    \\
    \hline
\end{array}

随机变量X为“小明早餐时间”,Y为“小强早餐时间”,Z为“小红早餐时间”,求\operatorname{P}(X=6, Z=7)

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