常见的等价无穷小

马同学

常见的等价无穷小

定理 .当 $x\to 0$ 时有：
（1） $\sin x\sim x$ ，（2） $\tan x\sim x$ ，（3） $\arcsin x\sim x$ ，（4） $\arctan x\sim x$ ，
（5） $e^x-1\sim x$ ，（6） $\ln(1+x)\sim x$ ，（7） $(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$ ，
（8） $1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ 。

证明 .（1） $\sin x\sim x$ 。因为之前证明过的 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 。
        （2） $\tan x\sim x$ 。因为：
$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=1$
        （3） $\arcsin x\sim x$ 。令 $x=\sin t$ ，所以 $\lim_{x\to 0}\frac{x}{\arcsin x}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ 。
        （4） $\arctan x\sim x$ 。令 $x=\tan t$ ，所以 $\lim_{x\to 0}\frac{x}{\arctan x}=\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1$ 。
        （5）、（6）、（7）的证明在之后的学习中会给出，具体参看这里。
        （8） $1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ 。因为：
$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}x^2} &=\lim_{x\to 0}\frac{1-\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{2}x^2}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1-\left(1-\sin^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{2}x^2}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\frac{4}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^2}=1 \end{aligned}$