定理(微积分第二基本定理).若函数在区间
上连续,
是
的一个原函数,那么:
为了方便起见,上述公式也常记作:
上述定理还是很好理解的,根据之前的学习可知,若知道是
积分上限函数
,那么
在
上的定积分就为
,如下图所示。
而在
上的定积分就为
,如下图所示。
那么根据定积分的运算法则,或者根据几何意义,可知在
上的定积分为:
如果知道的不是积分上限函数,而是另外一个原函数
,根据不定积分的知识可以知道,
与
之间相差一个常数。
所以最终有:
上式也就是微积分第二基本定理的结论。
有了微积分第二基本定理后,只需要知道原函数就可以求出定积分,不再需要关心繁杂的黎曼和,所以该定理是数学中非常重要一个定理。
在数学史上,牛顿和莱布尼兹都声称自己拥有该定理的发明权,然后在整个数学界引发了一场历时冗长、牵涉人员众多的争论,甚至使得英国和欧洲反目成仇,一度停止了两个地域之间的学术交流。最终该定理被冠上了两位大佬的名字,也就是被称为 牛顿-莱布尼兹公式 。