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牛顿-莱布尼兹公式

1 微积分第二基本定理
定理(微积分第二基本定理).若函数y=f(x)在区间[a,b]连续F(x)f(x)的一个原函数,那么:

\int_a^b f(x)\textrm{d}x=F(b)-F(a)

为了方便起见,上述公式也常记作:

\int_a^b f(x)\textrm{d}x=[F(x)]_a^b=F(x)|_a^b

上述定理还是很好理解的,根据之前的学习可知,若知道\Phi(x)y=f(x)积分上限函数\Phi(x),那么y=f(x)[a,c]上的定积分就为\Phi(c),如下图所示。

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y=f(x)[a,d]上的定积分就为\Phi(d),如下图所示。

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那么根据定积分的运算法则,或者根据几何意义,可知y=f(x)[c,d]上的定积分为:

\int_c^d f(x)\mathrm{d}x=\int_a^d f(x)\mathrm{d}x-\int_a^c f(x)\mathrm{d}x=\Phi(d)-\Phi(c)

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如果知道的不是积分上限函数\Phi(x),而是另外一个原函数F(x),根据不定积分的知识可以知道,\Phi(x)F(x)之间相差一个常数。

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所以最终有:

\int_c^d f(x)\mathrm{d}x=\Phi(d)-\Phi(c)=F(d)-F(c)

上式也就是微积分第二基本定理的结论。

2 牛顿-莱布尼兹公式

有了微积分第二基本定理后,只需要知道原函数就可以求出定积分,不再需要关心繁杂的黎曼和,所以该定理是数学中非常重要一个定理。

在数学史上,牛顿和莱布尼兹都声称自己拥有该定理的发明权,然后在整个数学界引发了一场历时冗长、牵涉人员众多的争论,甚至使得英国和欧洲反目成仇,一度停止了两个地域之间的学术交流。最终该定理被冠上了两位大佬的名字,也就是被称为 牛顿-莱布尼兹公式

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