极大值、极小值

马同学

极大值、极小值

定义 .设函数 $f(x)$ 在某邻域 $U(x_0)$ 上有定义，如果 $\exists\delta > 0$ ， $\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta)$ 时有：
$f(x_0) \ge f(x)$ ，则称 $f(x_0)$ 为函数 $f(x)$ 的一个极大值，称 $x_0$ 点为函数 $f(x)$ 的一个极大值点
$f(x_0) \le f(x)$ ，则称 $f(x_0)$ 为函数 $f(x)$ 的一个极小值，称 $x_0$ 点为函数 $f(x)$ 的一个极小值点
$f(x_0) > f(x)$ ，则称 $f(x_0)$ 为函数 $f(x)$ 的一个严格极大值，称 $x_0$ 点为函数 $f(x)$ 的一个严格极大值点
$f(x_0) < f(x)$ ，则称 $f(x_0)$ 为函数 $f(x)$ 的一个严格极小值，称 $x_0$ 点为函数 $f(x)$ 的一个严格极小值点
上述的极大值、极小值统称为函数 $f(x)$ 的一个极值，对应的极大值点、极小值点统称为函数 $f(x)$ 的一个极值点；而上述的严格极大值、严格极小值统称为函数 $f(x)$ 的一个严格极值，对应的严格极大值点、严格极小值点统称为函数 $f(x)$ 的一个严格极值点。

举例说明下上述定义，并且和上一节介绍的最值、最值点进行一下比较。在下图中（这里没有区分“严格最值点”和“最值点”，也没有区分“严格极值点”和“极值点”。在之后的讲解中，若没有必要也不再区分），

$a$ 点是函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最小值点， $x_3$ 点是函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值点
$x_0$ 、 $x_1$ 、 $x_3$ 、 $x_5$ 点是函数 $f(x)$ 的极大值点， $x_2$ 、 $x_4$ 点是函数 $f(x)$ 的极小值点，