对角阵与单位阵

马同学

对角阵与单位阵

若 $n$ 阶方阵如下：

$\Lambda_{n}=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&...&0\\0&\lambda_2&...&0\\...&...&&...\\ 0&0&...&\lambda_n\end{pmatrix}$

对角线以外的元素都是0，这种方阵称为对角矩阵（Diagonal matrix），简称对角阵，也记作：

$\Lambda_{n}=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$

特别的，如果对角线上的元素全为 $1$ ，也就是 $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$ ：

$I_n=\begin{pmatrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\...&...&&...\\ 0&0&...&1\end{pmatrix}$

该对角阵称为n阶单位矩阵（Identity matrix），或者简称为单位阵。在国内教材中，单位阵一般用 $E$ 表示。

1 单位阵和单位 $1$

之所以称为单位阵，可能是因为它和单位 $1$ 的作用差不多。下面具体解释下。

在实数乘法中，单位 $1$ 乘上任何数 $a$ 的结果是 $a$ ：

$1\times a=a$

而在矩阵乘法中，单位阵乘上任何矩阵 $A$ 的结果还是 $A$ ：

$\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix}$

或者：

$\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix}$

2 对角阵乘法的运算规律

如果是同型的对角阵相乘，根据矩阵乘法的规则，结果会非常简单：

$\begin{pmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{pmatrix}$

关注马同学

微信公众号：matongxue314

马同学机器学习

监督式学习(更新中)

适合机器学习零基础入门

马同学图解数学

关注马同学

微信公众号：matongxue314

对角阵与单位阵

监督式学习(更新中)

线性代数(已完本)

单变量微积分(已完本)

多变量微积分(已完本)

概率与统计(已完本)