收敛级数的性质（4）

马同学

收敛级数的性质（4）

定理 .如果级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty a_i$ 收敛，那么对该级数的项任意加括号后所成的级数：
$(a_1+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots+a_{n_2})+\cdots+(a_{n_{k-1}+1}+\cdots+a_{n_k})+\cdots$
依然收敛，且其和不变。或者可以简单表示为：
$\sum_{i=1}^\infty a_i\ \text{收敛于}\ s\xrightarrow{\quad\displaystyle\text{任意加括号得}\displaystyle\sum_{i=1}^\infty b_i\quad}\sum_{i=1}^\infty b_i\ \text{收敛于}\ s$

证明 .设级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty a_i$ 的部分和数列为 $\{s_n\}$ ，加括号后所成的级数所成的部分和数列为 $\{\sigma_n\}$ ，则：
$\begin{aligned} &\sigma_1=a_1+\cdots+a_{n_1}=s_{n_1},\\ &\sigma_2=(a_1+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots+a_{n_2})=s_{n_2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\\ &\sigma_k=(a_1+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots+a_{n_2})+\cdots+(a_{n_{k-1}+1}+\cdots+a_{n_k})=s_{n_k},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \end{aligned}$
可见 $\{\sigma_n\}$ 是 $\{s_n\}$ 的子数列，根据题意可知部分和数列 $\{s_n\}$ 是收敛的，结合上收敛数列的子数列也收敛，所以 $\{\sigma_n\}$ 必然收敛，且有：
$\lim_{n\to\infty}\sigma_n=\lim_{n\to\infty}s_n$
即加括号后所成的级数收敛，且其和不变。

上述性质有点像加法结合律：

$1+2+3=1+(2+3)$

但又不完全一样。比如下面这个级数是收敛于零的：

$(1-1)+(1-1)+\cdots=\sum_{i}^{\infty}(1-1)=0$

但去掉括号后得到的如下级数却是发散的，也就是说任意去括号是不行的：

$1-1+1-1+\cdots\implies s_n=\begin{cases}1,&n\ \text{为奇数}\\0,&n\ \text{为偶数}\end{cases}$

对级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty a_i$ 任意加括号后得到级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty b_i$ ，如果级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty b_i$ 发散，那么级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty a_i$ ：

收敛

发散

都有可能

关注马同学