曲线之间的面积

马同学

曲线之间的面积

定义 .若函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则定义由 $y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ 、 $x=a$ 以及 $x=b$ 所围成图形的面积 $A$ 为：
$A=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}|f(\xi_i)-g(\xi_i)|\Delta x_i=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x$

下面通过一个例子来解释一下上述定义。假设由 $y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ 、 $x=a$ 以及 $x=b$ 所围成图形的面积 $A$ 如下图所示。

与曲边梯形的面积类似，还是通过矩形的面积和来计算曲线之间的面积，如下图所示。

让我们观察下其中的小矩形。把区间 $[a,b]$ 任意分为 $n$ 份，以某子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 作底，过 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ 点作高的小矩形如下图所示。

根据上图可知，在区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上：

小矩形的高为 $|f(\xi_i)-g(\xi_i)|$ ，加上绝对值可以保证高为非负数
小矩形的底为 $x_i-x_{i-1}$

令 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ ，所以小矩形的面积为：

$|f(\xi_i)-g(\xi_i)|\cdot (x_i-x_{i-1})=|f(\xi_i)-g(\xi_i)|\Delta x_i$

所以在区间 $[a,b]$ 上 $n$ 个小矩形的面积和为如下黎曼和：

$\sum_{i=1}^{n}|f(\xi_i)-g(\xi_i)|\Delta x_i$

令 $\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\}$ ，因为函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，根据可积的充分条件 1，所以 $\lambda\to 0$ 时上述黎曼和的极限存在，也就是可积。所以定义由 $y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ 、 $x=a$ 以及 $x=b$ 所围成图形的面积 $A$ 为：

$A=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}|f(\xi_i)-g(\xi_i)|\Delta x_i=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x$

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