方向角和方向余弦

马同学

方向角和方向余弦

1 二维向量的方向角和方向余弦

定理 .二维向量 $\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向的夹角 $\alpha$ 、 $\beta$ 称为该向量的方向角，如下图所示。
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方向角的余弦称为方向余弦，其值分别为 $\cos\alpha=\frac{u_1}{|\boldsymbol{u}|}$ 及 $\cos\beta=\frac{u_2}{|\boldsymbol{u}|}$ 。

证明 .容易发现，方向角 $\alpha$ 也是 $\boldsymbol{u}$ 与 $x$ 轴上单位向量 $\boldsymbol{i}$ 的夹角；而方向角 $\beta$ 也是 $\boldsymbol{u}$ 与 $y$ 轴上单位向量 $\boldsymbol{j}$ 的夹角，如下图所示。
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所以，可通过点积计算得到：
$\cos\alpha=(\widehat{\boldsymbol{u},\boldsymbol{i}})=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{i}}{\|\boldsymbol{u}\|\|\boldsymbol{i}\|}=\frac{u_1\times 1+u_2\times 0}{\|\boldsymbol{u}\|\times 1}=\frac{u_1}{\|\boldsymbol{u}\|}$
$\cos\beta=(\widehat{\boldsymbol{u},\boldsymbol{j}})=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{j}}{\|\boldsymbol{u}\|\|\boldsymbol{j}\|}=\frac{u_1\times 0+u_2\times 1}{\|\boldsymbol{u}\|\times 1}=\frac{u_2}{\|\boldsymbol{u}\|}$

如下所示，用 $\boldsymbol{u}$ 的方向余弦可构造出向量 $\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{u}}$ ：

$\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{u}}=\begin{pmatrix}\cos\alpha\\\cos\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{u_1}{\|\boldsymbol{u}\|}\\\displaystyle\frac{u_2}{\|\boldsymbol{u}\|}\end{pmatrix}=\frac{1}{\|\boldsymbol{u}\|}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=\frac{\boldsymbol{u}}{\|\boldsymbol{u}\|}$

观察上面的构造过程可知， $\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{u}}$ 的长度为 $1$ ，方向与 $\boldsymbol{u}$ 相同，所以称其为 $\boldsymbol{u}$ 的单位方向向量，如下图所示。

2 三维中的方向角和方向余弦

定理 .三维向量 $\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向的夹角 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 称为该向量的方向角，如下图所示。
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方向角的余弦称为方向余弦，其值分别为 $\cos\alpha=\frac{u_1}{|\boldsymbol{u}|}$ 、 $\cos\beta=\frac{u_2}{|\boldsymbol{u}|}$ 及 $\cos\gamma=\frac{u_3}{|\boldsymbol{u}|}$ 。

如下所示，用 $\boldsymbol{u}$ 的方向余弦可构造出向量 $\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{u}}$ ：

$\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{u}}=\begin{pmatrix}\cos\alpha\\\cos\beta\\\cos\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{u_1}{\|\boldsymbol{u}\|}\\\displaystyle\frac{u_2}{\|\boldsymbol{u}\|}\\\displaystyle\frac{u_3}{\|\boldsymbol{u}\|}\end{pmatrix}=\frac{1}{\|\boldsymbol{u}\|}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}=\frac{\boldsymbol{u}}{\|\boldsymbol{u}\|}$

$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=(\frac{a}{|\boldsymbol{u}|},\frac{b}{|\boldsymbol{u}|},\frac{c}{|\boldsymbol{u}|})=\frac{1}{|\boldsymbol{u}|}(a,b,c)=\frac{\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|}=\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{u}}$