高阶偏导数和混合偏导数

马同学

高阶偏导数和混合偏导数

1 二阶偏导数

偏导数也是函数，也可求其偏导数，所得结果可以称为二阶偏导数（Second order partial derivative），根据求导次序不同有下列四种二阶偏导数，其中的第二、三个又称为混合偏导数（Mixed partial derivative）：

$\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=f_{x x}(x, y), \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=f_{x y}(x, y)} \\ {\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=f_{y x}(x, y), \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f_{yy}(x, y)}\end{array}$

例 .试证函数 $z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$ 满足方程 $\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 。。

证明 .因为 $z=\displaystyle\ln\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)$ ，根据基本初等函数的导函数、链式法则以及函数和、差、积、商的求导法则，所以：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)\right)=\frac{x}{x^2+y^2}$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{(x^2+y^2)-x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$
由于本题中的函数关于自变量的对称性，所以：
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{x^2+y^2},\quad\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$
因此证得：
$\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=0$

例 .请求出 $z=-x^2-y^2$ 的混合偏导数 $f_{xy}$ 。

解 .根据题目条件，有：
$f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(-2x\right)=0$
借此题可以来理解下二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 的几何直观。沿着 $y$ 方向，移动函数 $z=-x^2-y^2$ 在 $x$ 方向上的偏微分，如下图所示(这里为了方便观察，将坐标轴进行了一些平移，但不会影响之后的结论)。因为 $f_x$ 是该偏微分的斜率，所以 $f_{xy}$ 就是上述移动过程中该偏微分斜率的变化率。
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本题求出 $f_{xy}=0$ ，说明在上述移动过程中， $x$ 方向上的偏微分的斜率没有发生变化，这也符合我们对上图的观察。

2 克莱罗定理，或施瓦兹定理

混合偏导数满足下列条件时相等，或者说满足下列条件时与求导顺序无关（证明略）：

定理（克莱罗定理，或施瓦兹定理）.若函数 $f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数在区域 $D$ 内连续，则有：
$f_{x y}(x, y)=f_{y x}(x, y),\quad (x,y)\in D$

例 .设 $z=x^{3} y^{2}-3 x y^{3}-x y+1$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 以及 $\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{3}}$ 。

解 .要求的偏导数分别为：
$\begin{aligned} &\frac{\partial z}{\partial x}=3 x^{2} y^{2}-3 y^{3}-y,&&\frac{\partial z}{\partial y}=2 x^{3} y-9 x y^{2}-x\\ &\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=6 x y^{2},&&\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=6 x^{2} y-9 y^{2}-1\\ &\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=6 x^{2} y-9 y^{2}-1,&&\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2 x^{3}-18 x y\\ &\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{3}}=6 y^{2} \end{aligned}$
从上述结果中可以看到，其中的两个二阶混合偏导数是连续的，两者也是相等的。

3 高阶偏导数

同样可得三阶、四阶、 $\cdots$ 以及 $n$ 阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数（Higher-order partial derivative）。并且高阶混合偏导数在连续的情况下，也与求导的顺序无关。

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