高阶偏导数和混合偏导数

马同学

1 二阶偏导数

也是函数，也可求其，所得结果可以称为二阶偏导数（Second order partial derivative），根据求导次序不同有下列四种二阶偏导数，其中的第二、三个又称为混合偏导数（Mixed partial derivative）：

试证函数满足方程。。因为，根据、以及，所以：

由于本题中的函数关于自变量的对称性，所以：

因此证得：

请求出的混合偏导数。根据题目条件，有：

借此题可以来理解下二阶混合偏导数的几何直观。沿着方向，移动函数在方向上的，如下图所示(这里为了方便观察，将坐标轴进行了一些平移，但不会影响之后的结论)。因为是该的斜率，所以就是上述移动过程中该斜率的变化率。

本题求出，说明在上述移动过程中，方向上的的斜率没有发生变化，这也符合我们对上图的观察。

2 克莱罗定理，或施瓦兹定理

混合偏导数满足下列条件时相等，或者说满足下列条件时与求导顺序无关（证明略）：

若函数的两个二阶混合偏导数在区域内，则有：

设，求以及。要求的分别为：

从上述结果中可以看到，其中的两个二阶混合偏导数是连续的，两者也是相等的。

3 高阶偏导数

同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数（Higher-order partial derivative）。并且高阶混合偏导数在连续的情况下，也与求导的顺序无关。

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