极坐标系下的富比尼定理

马同学

极坐标系下的富比尼定理

1 极坐标系下的二重积分

在极坐标系中，当二重积分存在时，往往如下来划分积分区域 $D$ ，

作一些以 $O$ 点（极点）为中心的同心圆及从 $O$ 点出发的射线，这些同心圆、射线的交线会构造出一些小闭区域，其中完整包含在积分区域 $D$ 内的小闭区域可用来近似积分区域 $D$ ，即下图左侧中的 $n$ 个蓝色闭区域
增加同心圆及射线，可增加蓝色闭区域的个数，也就是增大了 $n$ ，这样会得到更好的近似效果，如下图右侧所示

$n$ 个蓝色闭区域来近似区域 $D$

$n$ 越大近似效果越好

观察其中的某个小闭区域 $\Delta\sigma_i$ ，如下图左侧所示，可以看到这是一个小扇环，设其两侧边长为 $\Delta\rho_i$ ，圆心角为 $\Delta\theta_i$ 。该小扇环可看作圆心角为 $\Delta \theta_i$ 、半径分别为 $\rho_{i}$ 和 $\rho_{i-1}$ 的两个同心的大、小扇形之差，如下图右侧所示（这里为了展示方便，将该小扇环进行了放大）。

某小闭区域 $\Delta\sigma_i$

$\Delta\sigma_i$ 是一个小扇环

由上图右侧可知有 $\Delta \rho_i=\rho_{i}-\rho_{i-1}$ ，令 $\overline{\rho_i}=\frac{\rho_{i}+\rho_{i-1}}{2}$ ，由于小扇环 $\Delta\sigma_i$ 是两个大、小扇形之差，所以其面积 $\Delta\sigma_i$ 可计算如下：

$\begin{aligned} \Delta\sigma_i &=\overbrace{\frac{1}{2}\rho_{i}^2\Delta \theta_i}^{\Large\text{大扇形}}\ -\ \overbrace{\frac{1}{2}\rho_{i-1}^2\Delta \theta_i}^{\Large\text{小扇形}}=\frac{1}{2}\Delta \theta_i(\rho_{i}^2-\rho_{i-1}^2)\\ &=\frac{\rho_{i}+\rho_{i-1}}{2}\cdot(\rho_{i}-\rho_{i-1})\cdot\Delta \theta_i=\overline{\rho_i}\cdot\Delta \rho_i\cdot\Delta\theta_i \end{aligned}$

在极坐标系中， $\rho=\overline{\rho_i}$ 是过小扇环 $\Delta\sigma_i$ 的一段圆弧，在该圆弧上、小扇环 $\Delta\sigma_i$ 内选择一点 $(\overline{\rho_i},\overline{\theta_i})$ ，如下图所示。

设该点在直角坐标系下的坐标为 $(\xi_i,\eta_i)$ ，根据直角坐标系和极坐标的关系有：

$\xi_i=\overline{\rho_i}\cos\overline{\theta_i},\quad \eta_i=\overline{\rho_i}\sin\overline{\theta_i}$

所以在极坐标系下，二重积分的定义式可以改写如下：

$\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=0}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=0}^{n}f(\overline{\rho_i}\cos\overline{\theta_i},\overline{\rho_i}\sin\overline{\theta_i})\overline{\rho_i}\cdot\Delta \rho_i\cdot\Delta\theta_i$

所以此时的二重积分也可记作：

$\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_\limits{D}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta$

其中的 $\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta$ 称为二重积分在极坐标中的面积元素。

2 极坐标系下的富比尼定理

定理（极坐标系下的富比尼定理）.函数 $f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$ 在区域 $D$ 上连续，当区域 $D$ 为 $\theta$ 型区域时，即：
$D=\{(\rho,\theta)|\varphi_1(\theta) \le \rho \le \varphi_2(\theta),\ \alpha \le \theta \le \beta\}$
其中 $\varphi_1(\theta)$ 、 $\varphi_2(\theta)$ 在区间 $[\alpha,\beta]$ 上连续，则下列二重积分可转为先对 $\rho$ 、后对 $\theta$ 的二次积分，即：
$\begin{aligned} \iint_\limits{D}f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\mathrm{d}\sigma &=\int_{\alpha}^{\beta}\left[\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho\right]\mathrm{d}\theta\\ &=\int_{\alpha}^{\beta}\mathrm{d}\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho \end{aligned}$

上述定理和直角坐标系下的富比尼定理非常类似，主要差异是极坐标下的富比尼定理多出一个 $\color{red}{\rho}$ ：

$\begin{array}{c|c|c} \hline \quad \quad&\quad \text{直角坐标系下的富比尼}\quad&\quad \text{极坐标系下的富比尼}\quad\\ \hline \\ \quad\text{被积函数}\quad&\quad f(x,y)\quad& \quad\quad f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \quad\\ \quad\text{二次积分}\quad&\quad \displaystyle\int_{a}^{b}\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x, y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x\quad& \quad\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\left[\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta){\color{red}{\rho}}\mathrm{d}\rho\right]\mathrm{d}\theta\quad\\ \\ \hline \end{array}$

下面来简单推导下上述定理。之前学习过极坐标系下的二重积分为：

$\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_\limits{D}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta$

令 $g(\rho,\theta)=f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho$ ，则上式可改写为：

$\iint_\limits{D}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta=\iint_\limits{D}g(\rho,\theta)\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta$

对改写后的式子运用直角坐标系下的富比尼定理，再回代 $g(\rho,\theta)=f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho$ ，可得：

$\iint_\limits{D}g(\rho,\theta)\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta=\int_{\alpha}^{\beta}\left[\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}g(\rho,\theta)\mathrm{d}\rho\right]\mathrm{d}\theta=\int_{\alpha}^{\beta}\left[\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho\right]\mathrm{d}\theta$

综上可得：

$\iint_\limits{D}f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\mathrm{d}\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}\left[\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho\right]\mathrm{d}\theta$

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