满秩、可逆与行列式

马同学

满秩、可逆与行列式

1 满秩、可逆与行列式

对于方阵 $\boldsymbol{A}$ 有：

$|\boldsymbol{A}|\ne 0\iff \boldsymbol{A}\ 满秩\iff \boldsymbol{A}\ 可逆$

可以结合二阶行列式的意义来理解“满秩与行列式的关系”：

从上面的动画中可以看出：

$|\boldsymbol{A}|\ne 0$ ，左边的正方形变为右侧的矩形，此时矩阵函数为双射，所以 $\boldsymbol{A}$ 是满秩矩阵，也可逆
$|\boldsymbol{A}|= 0$ ，左边的正方形变为右侧的线段，此时矩阵函数非单射，所以 $\boldsymbol{A}$ 不是满秩矩阵，也不可逆

2 推论

根据“满秩与行列式的关系”，比如某矩阵一行（列）元素全为0，很显然该矩阵非满秩矩阵，则对应的行列式为0：

$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ {\color {blue}0}&{\color{blue}0}&\dots&{\color{blue}0}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&\dots&{\color {blue}0}&\dots &a_{1n}\\ a_{21}&\dots&{\color {blue}0}&\dots &a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&\dots &{\color {blue}0}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix}=0$

再比如某矩阵有两行（列）对应成比例或相同，很显然该矩阵非满秩矩阵，所以对应的行列式为0：

$\begin{vmatrix} {\color {blue}2}&{\color {blue}2}&\dots &{\color {blue}2}\\ {\color {blue}8}&{\color {blue}8}&\dots &{\color {blue}8}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix}=0$

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