平面质心和空间质心

马同学

平面质心和空间质心

在《马同学图解微积分（上）》中介绍过直线质心，其中有一些接下来需要的前置知识，同学们可以阅读回忆一下。

接着来学习平面质心和空间质心，先直观感受一下空间质心。下图所示的是一种平衡玩具，塑料老鹰的鸟嘴处就是其质心所在。因为塑料老鹰是空间中的立体玩具，所以这是空间质心的一个例子。

塑料老鹰的鸟嘴处就是其质心所在

1 平面质心

定理 .占有平面闭区域 $D$ 、在 $(x,y)$ 点处的密度为 $\mu(x,y)$ （ $\mu(x,y)$ 在 $D$ 上连续）的物体的质心坐标为：
$\overline{x}=\frac{\displaystyle\iint\limits_{D} x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma}{\displaystyle\iint\limits_{D}\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma},\quad \overline{y}=\frac{\displaystyle\iint\limits_{D} y\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma}{\displaystyle\iint\limits_{D}\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma}$

举例说明一下上述定理，比如下图中的平面闭区域 $D$ ，我们将之想象为一个平面薄片。该薄片具有连续的面密度函数 $\mu(x,y)$ ，设其质心为 $(\overline{x},\overline{y})$ ，且在其上选择一点 $(x_i,y_i)$ ，以该点为中心作蓝色小矩形 $\Delta\sigma_i$ 。

平面薄片的质心为 $(\overline{x},\overline{y})$ ，及以 $(x_i,y_i)$ 为 $\Delta\sigma_i$

因为面密度函数 $\mu(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，当 $\Delta\sigma_i$ 足够小时，可认为该蓝色小矩形的面密度就是 $\mu(x_i,y_i)$ ，所以该蓝色小矩形的质量 $\Delta m_i$ 可近似计算如下：

$\Delta m_i\approx\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i$

将该薄片平放，当 $\Delta\sigma_i$ 足够小时蓝色小矩形可视作质点 $N_i$ ，该质点的质量为 $\Delta m_i$ 。所以质点 $N_i$ 受到的重力大小为 $g\Delta m_i\approx g\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i$ ，如下图所示。

平面薄片上的质点 $N_i$ ，所受重力为 $g\Delta m_i\approx g\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i$

代表蓝色小矩形的质点 $N_i$ 在重力的作用下，会对质心 $(\overline{x},\overline{y})$ 产生力矩 $\Delta\tau_i$ 。类似于力的分解，该力矩可以分解到 $x$ 、 $y$ 方向上去，大小分别为（在 $x$ 、 $y$ 方向上，质点 $N_i$ 与质心 $(\overline{x},\overline{y})$ 的距离分别为 $x_i-\overline{x}$ 及 $y_i-\overline{y}$ ）：

$\Delta\tau_{ix}=g(x_i-\overline{x})\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i,\quad \Delta\tau_{iy}=g(y_i-\overline{y})\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i$

按照上面的方法，平面薄片 $D$ 可以划分为 $n$ 个蓝色小矩形，从而构造出如下的两个黎曼和，分别代表这 $n$ 个蓝色小矩形在 $x$ 方向上的力矩之和，以及在 $y$ 方向上的力矩之和。因为 $(\overline{x},\overline{y})$ 是质心，所以这两个黎曼和约等于0：

$\sum_{i=1}^{n} g(x_i-\overline{x})\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i\approx 0,\quad \sum_{i=1}^{n} g(y_i-\overline{y})\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i\approx 0$

当 $\Delta \sigma_i\to 0$ 时，即 $\lambda\to 0$ 时，可以推出如下的质心公式，其中的分母 $\displaystyle\iint\limits_{D}\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 就是平面薄片 $D$ 的质量。

$\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n} g(x_i-\overline{x})\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i=0\implies \overline{x}=\frac{\displaystyle\iint\limits_{D} x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma}{\displaystyle\iint\limits_{D}\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma}$

$\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n} g(y_i-\overline{y})\mu(x_i,y_i)\Delta\sigma_i=0\implies \overline{y}=\frac{\displaystyle\iint\limits_{D} y\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma}{\displaystyle\iint\limits_{D}\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma}$

若在质心 $(\overline{x},\overline{y})$ 处架设支点，该平面薄片可以保持平衡。

2 空间质心

定理 .占有空间闭区域 $\varOmega$ 、在 $(x,y,z)$ 点处的密度为 $\mu(x,y,z)$ （ $\mu(x,y,z)$ 在 $\varOmega$ 上连续）的物体的质心坐标为：
$\overline{x}=\frac{\displaystyle\iiint\limits_{\varOmega} x\mu(x,y,z)\mathrm{d}v}{\displaystyle\iiint\limits_{\varOmega}\mu(x,y,z)\mathrm{d}v},\quad\overline{y}=\frac{\displaystyle\iiint\limits_{\varOmega} y\mu(x,y,z)\mathrm{d}v}{\displaystyle\iiint\limits_{\varOmega}\mu(x,y,z)\mathrm{d}v},\quad \overline{z}=\frac{\displaystyle\iiint\limits_{\varOmega} z\mu(x,y,z)\mathrm{d}v}{\displaystyle\iiint\limits_{\varOmega}\mu(x,y,z)\mathrm{d}v}$

上述定理的推导过程和平面质心类似，这里就不赘述了。

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