幂级数与收敛半径

马同学

幂级数与收敛半径

1 幂级数的定义

定义 .形式如下的函数项级数，称为 $\color{Salmon}{\text{中心在}\ 0\ \text{点的幂级数}}$ （a power series centered at 0），其中常数 $a_0$ 、 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $\cdots$ 、 $a_n$ 、 $\cdots$ 叫做幂级数的系数（Coefficients of the power series）：
$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$
而形式如下的函数项级数，称为 $\color{Salmon}{\text{中心在}\ b\ \text{点的幂级数}}$ （a power series centered at a）：
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-b)^{n}=a_0+a_1(x-b)+a_2(x-b)^2+\cdots+a_n(x-b)^n+\cdots$
上述两种统称为幂级数（Power series）。

幂级数是函数项级数中最常见的一类，上一节提到的 $\sum_{i=0}^{\infty}ax^i$ 就是中心点在 $0$ 点的幂函数。中心点在 $0$ 点的意思是，比如 $\sum_{i=0}^{\infty}ax^i$ 的收敛域是 $(-1,1)$ ，该收敛域就是以 $0$ 点为中心对称的，如下图所示。

而对于 $\sum_{i=0}^{\infty}a(x-b)^i$ ，其收敛域为 $(b-1,b+1)$ （该收敛域可通过 $t=x-b$ 换元推出），该收敛域就是以 $b$ 点为中心对称的，如下图所示。

2 阿贝尔定理

在幂级数的定义提到“中心点在 $0$ 点”或“中心点在 $a$ 点”，也就是幂级数的收敛域是关于 $0$ 点或关于 $a$ 点对称的，这都因为存在下面这个定理：

定理 .对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}$ ，
（1）若 $x=x_0$ （ $x_0\ne 0$ ）时收敛收敛，那么当 $|x| < |x_0|$ 时，该幂级数绝对收敛；
（2）若 $x=x_0$ 时发散，那么 $|x| > |x_0|$ 时，该幂级数发散。
该定理称为阿贝尔定理（Abel's theorem）。

证明 .（1）若 $x=x_0$ （ $x_0\ne 0$ ）时收敛，即幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx_0^{n}$ 收敛，根据级数收敛的必要条件，此时有：
$\lim_{n\to\infty}a_nx_0^n=0$
根据收敛数列的有界性，所以 $\exists M > 0$ ，使得：
$|a_nx_0^n|\le M,\quad (n=0,1,2,\cdots)$
从而有：
$|a_nx^n|=\left|a_nx_0^n\cdot\frac{x^n}{x_0^n}\right|=|a_nx_0^n|\cdot\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\le M\left|\frac{x}{x_0}\right|^n$
因为当 $|x| < |x_0|$ 时，等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}M\left|\frac{x}{x_0}\right|^n$ 收敛，根据正项级数的比较审敛法，所以级数 $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ 收敛，所以幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}$ 绝对收敛。
（2）已知 $x=x_0$ 时发散，即幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx_0^{n}$ 发散，可用反证法来证明。假设存在某 $x_1$ 点，该点满足 $|x_1| > |x_0|$ 且有 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx_1^{n}$ 收敛，那么根据（1）中所得结论，当 $x=x_0$ 时 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx_0^{n}$ 应该收敛，这与条件矛盾，所以得证。

上述阿贝尔定理说的是，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}$ 而言，该幂级数在 $x_0$ 点收敛时，那么也在以 $0$ 为中心、 $|x_0|$ 为半径的区间上收敛，如下图左侧所示。而如果该幂级数在 $x_0$ 点发散时，那么也在以 $0$ 为中心、 $|x_0|$ 为半径的区间外发散，如下图右侧所示。这两幅图中都假设 $x_0 > 0$ ，需要强调一点的是，其中 $-x_0$ 点的敛散性是不清楚的。

$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}$ 在 $x_0$ 点收敛时

$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}$ 在 $x_0$ 点发散时

对于中心点在 $a$ 点的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^{n}$ 也有类似的结论，该幂级数在 $x_0$ 点收敛时，那么也在以 $a$ 为中心、 $|x_0-a|$ 为半径的区间上收敛，如下图左侧所示。而如果该幂级数在 $x_0$ 点发散时，那么也在以 $a$ 为中心、 $|x_0-a|$ 为半径的区间外发散，如下图右侧所示。

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^{n}$ 在 $x_0$ 点收敛时

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^{n}$ 在 $x_0$ 点发散时

3 阿贝尔定理的推论

定理 .幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^{n}$ 的敛散性有三种可能性：
（1）存在一个正数 $R$ ，使得当 $|x-a| < R$ 时，该级数绝对收敛；当 $|x-a| > R$ 时，该级数发散；在端点 $a+R$ 和 $a-R$ 处，该级数可能收敛也可能发散；
（2）该级数对一切 $x$ 都收敛，规定此时的 $R=+\infty$ 。
（3）该级数只在 $x=a$ 处收敛，规定此时的 $R=0$ 。
上述的 $R$ 统称为收敛半径。

上述定理是阿贝尔定理的直接推论。让我们以某幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}$ 为例解释其中的可能性（1），设该幂级数在数轴上既有收敛点（不光是原点）也有发散点，那么从原点出发沿数轴向右走，最初遇到的全是收敛点，然后就只遇到发散点，这两种点之间会存在一个分界点，如下图所示，分界点和原点的距离就是收敛半径 $R$ 。

4 收敛半径的求解方法

定理 .对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ ，如果：
$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$
那么该幂级数的收敛半径为：
$R=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{\rho},&\rho\ne 0\\ +\infty,&\rho=0\\ 0,&\rho=+\infty \end{cases}$

证明 .考察该幂级数的绝对值级数 $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ ，此绝对值级数相邻两项之比为：
$\frac{|a_{n+1}x^{n+1}|}{|a_nx^n|}=\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x|$
下面来分情况讨论。
        （1）如果 $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho,\rho\ne 0$ 存在，那么有：
$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}x^{n+1}|}{|a_nx^n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x|=\rho|x|$
根据正项级数的比值审敛法，当 $\rho|x| < 1$ 时，即 $|x| < \frac{1}{\rho}$ 时，绝对值级数 $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ 收敛，即幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 绝对收敛。而当 $\rho|x| > 1$ 时，即 $|x| > \frac{1}{\rho}$ 时，绝对值级数 $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ 发散，并且根据：
$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}x^{n+1}|}{|a_nx^n|}=\rho|x| > 1$
结合上数列极限的定义，可推出 $\exists N > 0$ ， $\forall n > N$ 时有：
$\frac{|a_{n+1}x^{n+1}|}{|a_nx^n|} > 1\implies |a_{n+1}x^{n+1}| > |a_nx^n|$
因此 $|a_nx^n|$ 不趋于零，从而 $a_nx^n$ 也不趋于零，根据级数收敛的必要条件，因此幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 发散，所以其收敛半径为 $R=\frac{1}{\rho}$ 。
        （2）如果 $\rho=0$ ，那么对于任何 $x\ne 0$ ，有：
$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}x^{n+1}|}{|a_nx^n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x|=0$
根据正项级数的比值审敛法，所以绝对值级数 $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ 收敛，即幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 绝对收敛，于是 $R=+\infty$ 。
        （3）如果 $\rho=+\infty$ ，那么对于除 $x\ne 0$ 外的一切 $x$ 值有：
$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}x^{n+1}|}{|a_nx^n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x|=+\infty$
根据无穷大的定义，对于某 $M > 1$ ， $\exists N > 0$ ， $\forall n > N$ 时有：
$\frac{|a_{n+1}x^{n+1}|}{|a_nx^n|} > M > 1\implies |a_{n+1}x^{n+1}| > |a_nx^n|$
因此 $|a_nx^n|$ 不趋于零，从而 $a_nx^n$ 也不趋于零，根据级数收敛的必要条件，所以幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 发散，于是 $R=0$ 。

之前学习过等比级数对应的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}ax^{n}$ 的收敛域为 $(-1,1)$ ，也就是说该级数的收敛半径 $R=1$ 。根据上述定理也可以求出同样的结果：

$\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a}{a}\right|=1\implies R=\frac{1}{\rho}=1$

顺便解读下 $R=1$ 的几何意义，和之前解读过的收敛域为 $(-1,1)$ 非常类似。我们知道幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}ax^{n}$ 的和函数为 $s(x)=\frac{a}{1-x}$ ，那么在以 $0$ 为中心、 $R=1$ 为半径的区域内，当 $n\to\infty$ 会有 $s_n(x)\to s(x)$ ，如下图所示。