幂级数与收敛半径

1 幂级数的定义
形式如下的,称为(a power series centered at 0),其中常数叫做 幂级数的系数 (Coefficients of the power series):

而形式如下的函数项级数,称为(a power series centered at a):

上述两种统称为 幂级数 (Power series)。

幂级数是中最常见的一类,上一节提到的就是中心点在点的幂函数。中心点在点的意思是,比如的收敛域是,该收敛域就是以点为中心对称的,如下图所示。

而对于,其收敛域为(该收敛域可通过换元推出),该收敛域就是以点为中心对称的,如下图所示。

2 阿贝尔定理

提到“中心点在点”或“中心点在点”,也就是是关于点或关于点对称的,这都因为存在下面这个定理:

对于

(1)若)时收敛,那么当时,该幂级数

(2)若,那么时,该幂级数

该定理称为 阿贝尔定理 (Abel's theorem)。

(1)若)时,即收敛,根据,此时有:

根据,所以,使得:

从而有:

因为当时,收敛,根据,所以级数,所以

        (2)已知,即,可用反证法来证明。假设存在某点,该点满足且有收敛,那么根据(1)中所得结论,当应该收敛,这与条件矛盾,所以得证。

上述阿贝尔定理说的是,对于而言,该幂级数在点收敛时,那么也在以为中心、为半径的区间上收敛,如下图左侧所示。而如果该幂级数在点发散时,那么也在以为中心、为半径的区间外发散,如下图右侧所示。这两幅图中都假设,需要强调一点的是,其中点的敛散性是不清楚的。

点收敛时

点发散时

对于中心点在点的也有类似的结论,该幂级数在点收敛时,那么也在以为中心、为半径的区间上收敛,如下图左侧所示。而如果该幂级数在点发散时,那么也在以为中心、为半径的区间外发散,如下图右侧所示。

点收敛时

点发散时

3 阿贝尔定理的推论
的敛散性有三种可能性:

(1)存在一个正数,使得当时,该级数;当时,该级数;在端点处,该级数可能收敛也可能发散;

(2)该级数对一切都收敛,规定此时的

(3)该级数只在处收敛,规定此时的

上述的统称为 收敛半径

上述定理是阿贝尔定理的直接推论。让我们以某为例解释其中的可能性(1),设该幂级数在数轴上既有(不光是原点)也有,那么从原点出发沿数轴向右走,最初遇到的全是,然后就只遇到,这两种点之间会存在一个分界点,如下图所示,分界点和原点的距离就是收敛半径

4 收敛半径的求解方法
对于,如果:

那么该幂级数的为:

考察该幂级数的绝对值级数,此绝对值级数相邻两项之比为:

下面来分情况讨论。

        (1)如果存在,那么有:

根据,当时,即时,绝对值级数,即幂级数。而当时,即时,绝对值级数发散,并且根据:

结合上,可推出时有:

因此不趋于零,从而也不趋于零,根据,因此幂级数发散,所以其

        (2)如果,那么对于任何,有:

根据,所以绝对值级数,即幂级数,于是

        (3)如果,那么对于除外的一切值有:

根据,对于某时有:

因此不趋于零,从而也不趋于零,根据,所以幂级数发散,于是

之前学习过对应的,也就是说该级数的。根据上述定理也可以求出同样的结果:

顺便解读下的几何意义,和之前解读过的非常类似。我们知道的和函数为,那么在以为中心、为半径的区域内,当会有,如下图所示。

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